중등수학1_자연수의 성질_최대공약수와 최소공배수

1.공약수와 최대공약수

1) 공약수 : 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수

2) 최대공약수 : 공약수 중에서 가장 큰 것

* 최소공약수는 항상 1이므로 생각하지 않는다.

3) 최대공약수의 성질 : 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수이다.

 

4) 서로소 : 최대공약수가 1인 두 자연수

① 1과 모든 자연수는 서로소

② 서로다른 두 소수는 서로소

③ 기약분수에서 분모, 분자는 서로소

2. 최대공약수 구하기

1) 소인수분해 이용하기

① 각각의  자연수를 소인수분해한다.

② 공통인 소인수를 모두 곱한다.

③ 이때 소인수 거듭제곱에서 지수가 같은면 그대로, 다르면 작은것을 택하여 곱한다.

2) 공약수로 나누기

① 1이 아닌 공약수로 각 수를 나눈다.

② 몫에 1 이외의 공약수가 없을 때까지 계속 나눈다.

③ 나누어준 공약수를 모두 곱한다.

3. 공배수와 최소공배수

1) 공배수 : 두 개 이상의 자연수이 공통인 배수

2) 최소공배수 : 공배수 중에서 가장 작은 것

3) 최소공배수의 성질

- 두개 이상의 자연수의 공배수는 그 수들의 최소공배수의 배수이다.

- 서로소인 두 자연수의 최소공배수는 두 수의 곱과 같다.

4. 최소공배수 구하기

(1) 소인수분해 이용하기

① 각각의 자연수를 소인수 분해한다.

② 소인수를 모두 곱한다.

③ 이때 공통인 소인수이 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 다르면 큰 것을 택하여 곱한다.

(2) 공약수로 나누기

① 1이 아닌 공약수로 각 수를 나눈다.

② 몫에 1 이외의 공약수가 없을 때까지 계속 나눈다.

③ 나누어 준 공약수와 마지막 몫을 모두 곱한다.

5. 최대공약수외 최소공배수의 활용

1) 최대공약수의 활용

- 두 종류 이상의 물건을 가능한 많은 사람에게 똑같이 나누어 주는 문제

- 직사각형을 가장 큰 정사각형 또는 가장 적은 수이 정사각형으로 빈틈업이 채우는 문제

- 제시된 몇 개의 자연수를 모두 나누어 각각 일정한 나머지를 생기게 하는 자연수 중에서 가장 큰 수를 구하는 문제

→ 나머지는 남는 만큼 빼고, 부족한 만큼 더해서 최대공약수를 구한다.

2) 최소공배수의 활용

① 움직이는 간격이 다른 두 물체가 동시에 출발하여 다시 만나는 시점을 묻는 문제

② 몇 개의 자연수로 모두 나누어 떨어지는 가장 작은 자연수를 구하는 문제

③ 직육면체를 쌓아 가장 작은 정육면체를 만드는 문제