1.기본 개념과 유체의 기본적인 성질[4]

예제 1.2

<표1.1>에 따르면 단위는 주어진 물리량을 정의에 의해 기본 차원의 조합으로 나타낼 수 있고, 여기에 각 단위계의 기본 단위로 대치하면 그 단위계에서 그 물리량의 단위가 된다는 것을 알 수 있다. [예제1.1]에서 살핀 MLT System과 FLT System에서의 1)질량과 속도의 곱, 2) 힘과 부피의 곱의 차원을 <표1.1>에서 분류한 단위계에 따라 그에 적합한 단위로 나타내어 보라.

풀이

1)질량과 속도의 곱

① MLT System -> mv = [M] · [LT^-1] = [MLT^-1]

미터 절대단위계(MKS) : kg · m/s

                     (cgs) : g · cm/s

미터4단위계 : kg · m/s

영국절대단위계 : ft · lb/s

영국4단위계 : ft · lb/s

② FLT System -> mv = [FL^-1T^2] · [LT^-1] = [FT]

미터 중력단위계 : kgf · s

미터4단위계 : kgf · s

영국 중력단위계(BG) : lbf · s

영국4단위계(EE) : lbf  · s

2) 힘과 부피의 곱

① MLT System -> FV = [MLT^-2] · [L^3] = [ML^4T^-2]

미터 절대단위계(MKS) : kg · m^4 / s^2

                     (cgs) : g · cm^4 / s^2

미터4단위계 : kg · m^4 / s^2

영국절대단위계 : ft^4 · lb / s^2

영국4단위계 : ft^4 · lb / s^2

② FLT System -> FV = [F] · [L^3] = [FL^3]

미터 중력단위계 : kgf · m^3

미터4단위계 : kgf · m^3

영국 중력단위계(BG) : ft^3 · lbr

영국4단위계(EE) : ft^3 · lbr

[예제 1.2]에서 4단위계는 절대단위계나 중력단위계에서 각각 그와 같은 단위로 표기하고 있다. 왜냐하면 절대단위계나 중력단위계의 기본 차원인 힘, 질량 길이, 시간을 기본 차원으로 하고 있기 때문이다. 여기에서 기본 단위를 중심으로 절대단위계와 중력단위계의 차이인 질량과 힘의 관계를 먼저 살펴 보기로하자. 질량과 힘의 관계는 차원에서 살펴본 1901년 개최된 제3차 국제 도량형 총회의 성명에서 확인할 수 있었는데, 단위를 포함한 그의내용은 아래와 같다.

① 킬로그램은 질량의 단위이며, 국제 킬로그램 원기의 질량과 같다.

② 무게라는 말은 힘과 같은 성질의 양을 나타낸다. 어떤 물체의 무게의 무게(W)는 그 물체의 질량(m)에 중력가속도(g)를 곱한 것이다.

이 성명에서 ①은 질량의 단위에 대하여 정의를 내린 것이며, ②는 질량과 무게가 애매하게 혼용되는 점을 제거하고 동시에 잘못된 사용을 막으려는 의도가 담겨져 있음을 알아야 한다. 즉, 물체에 중력가속도 내지 가속도가 작용하여 생기는 무게나 힘을 나타내는 경우에 사용하는 것으로 미터 중력단위계에서는 질량과 구분하기 위해서 질량 1 킬로그램의 무게 내지 힘을 '1킬로그램 중(重)'이라 부르고, 단위 기호로는 kgf 또는 kgw(kilogram-force 또는 kilogram-weight)로 표기한다. 즉, 그만큼의 질량에 중력가속도를 포함하고 있다는 의미로 중(重), f, w를 붙인 것이다. 이는 영국중력단위계의 경우에도마찬가지여서 질량 1파운드의 무게나 힘을 나타내는 경우의 단위기호로lbf 또는 lbw(pound-force 또는 pound-weight)로 표기한다. 한편 4단위계에서 질량과 힘의 관계를 살피기 위해 Newton의 운동법칙을 식(1.6)과 같이 생각하여 보자. F=(1/gc)ma 식(1.6)에서 gc는 양변이 차원동차가 되도록 사용한 단위환산곗이다. 절대단위계나 중력단위계에서는 gc = 1(무차원수)로 하고, 양변의 차원이 같도록 하면 절대단위계에서의 유도차원인 힘[F]의 차원 [MLT^2]이 되며, 중력단위계에서의 유도차원인 질량[M]의 차원은 [FL^-1T^2]이 되는 것을 알았다. 그러나 4단위계에서는 힘이나 질량을 모두 기본 차원으로 하기 때문데 식(1.6)이 성립하기 위해서는 단위환산계수 gc가 무차원이 아닌 차원을 가져야한다는 것을 알 수 있다. 식(1.6)에서 힘[F], 질량[M], 길이[L], 시간[T]를 기본 차원으로 하는 공학단위계에서의 단위환산계수 gc의 차원을 유도하여보면 아래와 같다.

F=(1/gc)ma -> gc = ma/F -> [M][LT^2] / [F] = [F^-1MLT^-2]

또 힘 대신 무게(W)라고 하면 위에서 유도된 과정은 힘이 경우와 같은 결과가 될 것이다.

W=(1/gc)mg -> gc = mg/W -> [M][LT^2] / [F] = [F^-1MLT^-2]

위에서 g는 중력에 의한 국소가속도로 단위환산계수 gc와 같은 의미를 갖지 않는다는 점에 주의하여야 한다. 중력에 의한 국소가속도 g는 위치와 고도에 의해 결정되지만 단위환산계수 gc는 단위계에 의해 결정되는 값이다. 미터단위계에서는 위도 45˚에서이 평균 해면값을 표준중력가속도 값으로 사용하는데 g=980665 m/s^2이다. 표준중력가속도는 일반적으로 한산의 정밀도를 고려하지 않을 경우에는 g=9.81 m / s^2 을 사용하는데 일반적인 단위환산을 하는 경우에는 이 값을 사용하기로 한다. 이 값을 힘(무게라고 생각해도 무방) 1kgf, 질량 1kg인 경우를 생각하면 식(1.6)에서 4단위계에서의 단위 환산계수 gc의 값을 구해보면 다음과 같다.

gc = mg/W = (1kg · 9.80665 m / s^2) / 1kgf = 9.80665 kg · m / (kgf · s^2)

위의 gc 값 역시 표준중력가속도이 값과 마찬가지로 gc = 9.81 kg · m / (kgf · s^2) 을 사용해도 무방하다.